Las matemáticas que encierra el número 2022

A partir de mañana, el 2022 será el número más visto, más escrito y más nombrado.

Pero ¿qué sabes de él? 

Y no, no tengo una bola de cristal que prediga el futuro.

Hablo, cómo no, de las curiosidades, propuestas o reflexiones de corte matemático que se pueden extraer del número que aglutinará los próximos 365 días de tu vida. 

Aquí van 15 preguntas que puedes aprovechar como propuestas para realizar con tus hijos o tus alumnos. A ver qué te parecen:

1. ¿Cuántas cifras tiene el 2022?
2. ¿Cuántas cifras decimales son necesarias para escribirlo?
3. ¿Cómo se escribe con números romanos?
4. ¿Es un número par o impar?
5. ¿Es un número primo o compuesto?
6. ¿Cuál es la suma de sus dígitos?
7. ¿Sabes cuántos números de cuatro cifras se pueden escribir con exactamente tres 2?
8. ¿Cuántos de esos números podrían ser años pasados?
9. ¿Cuáles son sus divisores primos?
10. ¿Cuál es la suma de los divisores primos?
11. ¿Cuáles son TODOS sus divisores?
12. ¿Cuál es la suma de todos sus divisores?
13. ¿Sabías que 2022 es un número abundante?
14. ¿Y que estamos ante un número de Harshad?
15. ¿Podrías decir el cuadrado de 2022 sin (casi) hacer cálculos?

Y aquí tienes las respuestas:

1. ¿Cuántas cifras tiene el 2022?

El 2022 tiene 4 cifras: 2, 0, 2 y 2.

2. ¿Cuántas cifras decimales son necesarias para escribirlo?

Es verdad que, generalmente, cuando hablamos de «cifras decimales» nos referimos a las cifras que hay a la derecha de la coma, y que representan la parte no entera (es decir, inferior a 1) de un número. Son las décimas, las centésimas, las milésimas, etc. 

Sin embargo, el término «cifras decimales» puede tener otra interpretación: las cifras que se usan en el sistema decimal, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Para escribir el 2022 solo se necesitan dos de ellas: el 0 y el 2. 

Observación: no me extenderé ahora, pero, si utilizaras el sistema binario (que tiene únicamente dos cifras, el 0 y el 1), el 2022 se escribiría así: 11111100110. Como ves, es un número muy largo.

3. ¿Cómo se escribe con números romanos?

El 2022 en números romanos se escribe así: MMXXII. Con tan solo tres letras y, además, repetidas de dos en dos.

4. ¿Es un número par o impar?

Los números pares son aquellos que son divisibles por 2, es decir, que tienen una mitad entera. Recuerda que para saber si un número es par o impar únicamente tienes que fijarte en la última cifra: si esta es 0 o un número par (2, 4, 6, 8), el número será par y si es impar (1, 3, 5, 7, 9), el número será impar.

Claramente, el 2022 es un número par, puesto que su última cifra es 2.

5. ¿Es un número primo o compuesto?

Como el 2022 es un número par, no puede ser un número primo, ya que al menos será divisible por 2. Recuerda que los números primos son aquellos que únicamente son divisibles por 1 y por sí mismos. Así pues, el 2022 es un número compuesto. 

6. ¿Cuál es la suma de sus dígitos?

La suma de sus dígitos es 2 + 0 + 2 + 2 = 6.

7. ¿Sabes cuántos números de cuatro cifras se pueden escribir con exactamente tres 2?

Usando tres 2 se pueden escribir ni más ni menos que 35 números de cuatro cifras. 

Si hay cuatro cifras y tres de ellas son un 2, solamente hay una cifra que no sea un 2. Esta cifra puede ocupar cuatro posiciones distintas. 

Si ocupa la posición de las unidades, se obtiene un número del tipo 2 2 2 A, en el que la A se puede sustituir por 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Así pues, hay 9 posibilidades distintas. 

Lo mismo sucede si dicha cifra ocupa las posiciones de las decenas (2 2 A 2) o de las centenas (2 A 2 2), lo que suma 18 posibilidades más.

Finalmente, si la cifra ocupa la posición de los millares (A 2 2 2) solo hay 8 posibilidades, ya que el número 0 2 2 2 no es un número de cuatro cifras.

Así pues, existen 9 + 9 + 9 + 8 = 35 números distintos de cuatro cifras con tres 2.

8. ¿Cuántos de esos números podrían ser años pasados?

Los números del tipo 2 2 2 A, 2 2 A 2 y  2 A 2 2 no corresponden a años pasados, puesto que el más pequeño de todos ellos es el 2022. 

De los números del tipo A 2 2 2, únicamente el 1222 es un año ya pasado. El 0 2 2 2 ya he dicho antes que no se puede considerar un número de cuatro cifras, y el siguiente sería el 3222, que obviamente aún está por llegar.

9. ¿Cuáles son sus divisores primos?

Un divisor del 2022 es un número que multiplicado por otro da 2022 o, dicho de otra manera, un número que divide, de manera exacta, a 2022. 

Como ya sabes, un número primo es aquel que únicamente  puede dividirse de manera exacta por 1 y por sí mismo. Así pues, los divisores primos del 2022 serán aquellos que lo dividan de manera exacta y que, a su vez, solo puedan dividirse de manera exacta por 1 y por sí mismos.

Para empezar, ya sabes que el 2022 es un número par y, por lo tanto, que es divisible por 2.

2022 : 2 = 1011

1011 también es divisor de 2022 (2022 : 1011 = 2). Sin embargo, no es primo, por lo que no lo puedo añadir a la lista. Aun así, resulta útil conocerlo, ya que todos sus divisores lo son a la vez de 2022. Puedo seguir la búsqueda, pues, a partir del 1011.

El 1011 no es divisible por 2, porque es un número impar. En cambio, sí que es divisible por 3. Para comprobarlo existen dos opciones: hacer la división y ver si da exacta o recordar la regla que dice: «Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3».

La suma de las cifras del 1011 es 1 + 0 + 1 + 1 = 3, que evidentemente es un múltiplo de 3 (3 x 1 = 3), por lo que el 1011 es divisible por  3: 

1011 : 3 = 337

Así pues, el 3 también es un divisor de 2022 (2022 : 3 = 674).

Ahora puedo partir del 337, ya que todos los divisores de 337 lo son a la vez de 1011 y, por lo tanto, de 2022.

Ya te adelanto que el 337 es un número primo. 

Pero, ¿cómo lo sé?

¿He probado a dividirlo por todos los números comprendidos entre el 2 y el 336? La verdad es que no. 

Para empezar, porque no es necesario. 

Para comprobar si un número es primo, es suficiente con comprobar si es divisible por algún otro número primo inferior a su raíz cuadrada. Me explico.

En primer lugar, cuando un número es divisible por un número compuesto (por ejemplo, el 6) esto implica que también lo es por sus factores primos (en este caso, el 2 y el 3, ya que 6 = 2 x 3). Fíjate en el 36, por ejemplo: es divisible por 6 y, por lo tanto, también es divisible por 2 y por 3. O, dicho de otra manera: es divisible por 2 y por 3 y, por lo tanto, también es divisible por 6. Así pues, si compruebo que un número no es divisible por 2 y por 3, que son números primos, ya sé que tampoco será divisible por 6, que es un número compuesto, por lo que no hará falta que lo compruebe.

En segundo lugar, cuando se divide un número por cualquiera de sus divisores, el resultado obtenido es también divisor de dicho número. 36 : 2 = 18, por lo que 18 también es un divisor de 36 (36 : 18 = 2). Así mismo, 36 : 3 = 12, entonces 12 también es un divisor de 36 (36 : 12 = 3). De esta manera, cada vez que se encuentra un divisor de 36, en realidad se encuentran dos: a cada divisor le corresponde otro divisor. El 4 y el 5 no son divisores de 6. Pero, ¿qué sucede con el 6? 6 es la raíz cuadrada de 36 (36 : 6 = 6). Así pues, todos los números mayores que 6 darán cocientes menores que 6, y todos los divisores menores que 6 ya los he encontrado, por lo que puedo dar por finalizada mi búsqueda.

La raíz cuadrada de 337 es aproximadamente 18’36.  Los números primos inferiores a 18 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17.

El 337 no es divisible por 2 porque no es un número par.

Tampoco es divisible por 3 porque la suma de sus cifras (3 + 3 + 7 = 13 y 1 + 3 = 4) no es un múltiplo de 3.

No es divisible por 5 porque su última cifra no es ni 0 ni 5. 

Tampoco es divisible por 7. Existe una regla poco conocida para saber si un número es divisible por 7. Dice así: «Un número es divisible por 7 si el resultado de quitarle la cifra de las unidades y luego restarle el doble de dicha cifra es múltiplo de 7». 

Si al 337 le quito la cifra de las unidades (7), me queda 33. Ahora le resto el doble de dicha cifra (es decir, 7 x 2 = 14) y obtengo 33 – 14 = 19.

El 19 no es múltiplo de 7, por lo que el 337 tampoco.

Para que se entienda la regla, voy a comprobar que, por ejemplo, el 336 sí es divisible por 7:

• si a 336 le quito la cifra de las unidades (6), queda 33
• si a 33 le resto el doble de 6 (es decir, 12), da 33 – 12 = 21
• 21 es múltiplo de 7 (3 x 7 = 21), por lo que 336 es divisible por 7 (336 : 7 = 48)

Sigo. 

El 337 no es divisible por 11. Para que un número sea divisible por 11, «la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar debe ser 0 o un múltiplo de 11 (11, 22, 33…)». 

El 337 tiene una posición par, ocupada por el número 3, y dos posiciones impares, ocupadas por el 3 y el 7.

7 – (3 + 7) = -3,

por lo que 337 no es divisible por 11.

Fíjate en el 341, por ejemplo. En este caso, 4 – (3 + 1) = 0, por lo que sí que es divisible por 11 (341 : 11 = 31). 

Existen reglas para comprobar si un número es divisible por 13 y por 17, pero son más difíciles de recordar, por lo que yo te recomiendo simplemente que realices la división y compruebes si da exacta. 

El 337 no es divisible por 13 ni por 17.

En conclusión: los divisores primos de 2022 son 1, 2, 3 y 337 y, por lo tanto:

2022 = 1 x 2 x 3 x 337

10. ¿Cuál es la suma de los divisores primos del número 2022?

La suma de los divisores primos de 2022 es 1 + 2 + 3 + 337 = 343.

11. ¿Cuáles son TODOS sus divisores?

Como has visto antes: 2022 = 2 x 3 x 337 (he obviado el 1, ya que el resultado no varía).

Para determinar todos los divisores del número 2022, voy a usar dos propiedades de la multiplicación: 

• la propiedad conmutativa, según la cual el orden de los factores no altera el producto
• la propiedad asociativa, según la cual la forma de agrupar los factores tampoco altera el producto

Así pues, el producto anterior también se puede expresar como:

2022 = (2 x 3) x 337 = 6 x 337

2022 = 2 x (3 x 337) = 2 x 1011

2022 = 3 x (2 x 337) = 3 x 674 

Los divisores de 2022 son: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011 y  2022.

12. ¿Cuál es la suma de todos sus divisores?

La suma de todos los divisores de 2022 es: 1 + 2 + 3 + 6 + 337 + 674 + 1011 + 2022 = 4056.

13. ¿Sabías que es un número abundante?

Un número abundante o número excesivo es un número tal que la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto él mismo) sea superior a él. La diferencia entre la suma de los divisores propios y el número en cuestión se conoce como la abundancia de dicho número. 

En el caso del número 2022, la suma de sus divisores propios es 1 + 2 + 3 + 6 + 337 + 674 + 1011 = 2034. Así pues, la abundancia de 2022 es 2034 – 2022 = 12.

14. ¿Y que estamos ante un número de Harshad?

Un número de Harshad (de la unión de los términos sánscritos harsa, que significa alegría, y da, que significa dar) es un número divisible por la suma de sus dígitos. 

El número 2022 es un número de Harshad, ya que la suma de sus dígitos es 2 + 0 + 2 + 2 = 6 y 2022 es divisible por 6.

15. ¿Podrías decir el cuadrado de 2022 sin (casi) hacer cálculos?

El cuadrado de 2.022 es 4.088.484 (lo he calculado con la calculadora ;-)). Cuando lo vi por primera vez, enseguida me llamó la atención. Al igual que el número 2022 solo tiene doses y ceros, el 4.088.484 solo tiene cuatros, ochos y ceros, siendo 4 = 2² y 8 = 2³.

Fíjate: 

Viendo esto, me pregunté: dando un número 20AB (es decir, un número comprendido entre el 2000 y el 2099, donde A y B representan dos cifras entre el 0 y el 9), ¿su cuadrado siempre cumplirá esta regularidad: (2 x 20) (4 x AB) (AB)²?  

Lo que voy a realizar a continuación no es una demostración. Se trata de un razonamiento lógico que me permitirá deducir si es posible o no que se cumpla dicha regularidad y por qué.

Voy a empezar por descomponer polinómicamente un número tipo 20AB:

20AB = 2 x 10³ + 0 x 10² + A x 10¹ + B x 10⁰

Así pues, el cuadrado de 2022 equivale a multiplicar:

(2 x 10³ + 0 x 10² + A x 10¹ + B x 10⁰ ) x (2 x 10³ + 0 x 10² + A x 10¹ + B x 10⁰ )

Su resultado corresponde a multiplicar cada uno de los términos del primer paréntesis por cada uno de los términos del segundo paréntesis. Para que puedas visualizarlo mejor, voy a hacer una lista con todos estos productos y su resultado. Recuerda que, cuando se multiplican dos potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes. 

(2 x 10³) x (2 x 10³) = 4 x 10⁶

(2 x 10³) x (0 x 10²) = 0

(2 x 10³) x (A x 10¹) = 2A x 10⁴ 

(2 x 10³) x (B x 10⁰) = 2B x 10³

(0 x 10²) x (2 x 10³) = 0

(0 x 10²) x (0 x 10²) = 0

(0 x 10²) x (A x 10¹) = 0

(0 x 10²) x (B x 10⁰) = 0

(A x 10¹) x (2 x 10³) = 2A x 10⁴

(A x 10¹) x (0 x 10²) = 0

(A x 10¹) x (A x 10¹) = A² x 10²

(A x 10¹) x (B x 10⁰) = AB x 10¹

(B x 10⁰) x (2 x 10³) = 2B x 10³

(B x 10⁰) x (0 x 10²) = 0

(B x 10⁰) x (A x 10¹) = AB x 10¹

(B x 10⁰) x (B x 10⁰) = B² x 10⁰

Sumando todos los resultados se obtiene:

(20AB)² = 4 x 10⁶ + 2 x (2A x 10⁴) + 2 x (2B x 10³) + A² x 10² + 2 x (AB x 10¹) + B² x 10⁰ =

= 4 x 10⁶ + 4A x 10⁴ + 4B x 10³ + A² x 10² + 2AB x 10¹ + B² x 10⁰

Lo cual corresponde a la expresión polinómica del número:

4 0 4A 4B A² 2AB B²

Fíjate que:

• las cifras de las decenas de millar y las unidades de millar (es decir, la 3a y 4a cifras empezando por la izquierda) corresponden respectivamente a 4 x A y 4 x B, las dos últimas cifras del número 20AB multiplicadas por 4
• las cifras de las centenas, las decenas y las unidades corresponden al cuadrado de AB, ya que:
  • la expresión polinómica del número AB es A x 10¹ + B x 10⁰ = A x 10 + B
  • según la identidad notable (a + b)² = a² + 2ab + b², se obtiene que:

(A x 10 + B)² = (A x 10)² + 2 x (A x 10) x B + B² = A² x 10² + 2AB x 10 + B,

que es la expresión polinómica del número A²  2AB  B²

Así pues, ¿el resultado de (20AB)² es un número de 7 cifras en el que las dos primeras cifras son un 4 y un 0, las tres siguientes son el resultado de multiplicar 4 x AB y las tres últimas son (AB)²?

Voy a probar con el número 2.013…

2.0132 = 40(4 x 13)(13)² = 4.052.169

Eureka! Parece ser que todo cuadra. Y, en cierta manera, es así. 

Pero… ¿qué sucede cuando el resultado de 4 x AB tiene más de dos cifras? ¿O bien cuando (AB)² tiene más de tres cifras? 

Voy a dejarlo aquí, porque esto da para otro artículo 😅 De todas maneras, lo realmente interesante es todo el proceso de análisis, los razonamientos lógicos y las deducciones realizadas hasta ahora.

Fuente consultada: Numbermatics. (2021). Number 2022 – Facts about the integer. Retrieved 14 December 2021, de https://numbermatics.com/n/2022/