La resta con llevadas es un tema que preocupa a mucha gente.
Esta semana, una lectora me preguntaba lo siguiente:
[…] No he encontrado en el blog ningún recurso para poder enseñar a la mayor la resta llevando. En el cole se lo han explicado, creo que por el método tradicional (al menos así es como me enseñaron a mí), y es añadiendo la decena al minuendo, cuando este es menor que el sustraendo, pero se queda sin dedos para poder hacer el cálculo, y no entiende que luego haya que sumar +1 a la decena del sustraendo. ¿Hay alguna manera más sencilla de explicárselo y, sobre todo “que lo entienda”? […]
Y es que la resta llevando o con llevadas representa uno de los mayores obstáculos hacia los 7 años. Casi todos mis cursos hay alguien que me pregunta acerca de la resta llevando.
Mucho podríamos hablar sobre la resta llevando pero si alguien espera soluciones mágicas, ya le adelanto que no las hay. Ni con la resta llevando, ni con el aprendizaje de las tablas de multiplicar, ni con… no existen recursos fantásticos que hagan que los niños aprendan en un instante.
Lo que voy a hacer, es repasar algunos aspectos que me parecen importantes. Al menos los podrás tener en cuenta reflexionar sobre ellos:
1. Diferenciar el concepto del algoritmo
Según Wikipedia, un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución.
A la luz de esta definición vemos que a menudo cuando pensamos que los niños están aprendiendo a restar con llevadas, en realidad lo que están haciendo es aprendiendo un algoritmo, es decir, una serie de instrucciones bien definidas, inmutables diría yo, sin saber para qué sirven.
Si empiezas por enseñar el algoritmo, estás empezado la casa por el tejado. Si los niños dedican horas y horas a aprender un algoritmo y luego tienen que usarlo en situaciones diversas o en problemas, se van a encontrar con grandes dificultades.
Aprender a restar no es lo mismo que aprender a hacer restas por escrito. Son dos actividades totalmente distintas.
En el primer caso estamos hablando de un concepto, la resta, que además cuando las cantidades son muy pequeñas realizamos mentalmente. En el segundo caso, hacer restas en el papel, aprendemos un método de cálculo, que en el caso de la resta con llevadas es sumamente complicado para los niños pequeños.
2. Secuenciar la didáctica de las resta con llevadas
Una vez hemos separado concepto de algoritmo, se nos hace necesario seguir un guión, que cada uno puede elaborar a partir de su experiencia o de las necesidades de los niños con los que está trabajando, para no caer en la tentación de no ir directamente al algoritmo.
Fase concreta.
En esta fase, empezamos con la resolución de problemas basados en el día a día. Esto no es una estrategia didáctica más, sino un principio básico de la enseñanza de la aritmética. El aprendizaje de una operación debe comenzar con un problema, seguir con un problema y culminar con un problema.
En esta etapa necesitaremos material manipulativo. Cuando se trata de restas con llevadas podemos tener regletas numéricas, material “multibase” . O sino cualquier otro material casero como palillos, cajitas, bolsitas que pueda representar unidades, decenas y centenas.
– Fase algorítmica
Una vez los niños saben resolver problemas donde aparecen restas llevando es el momento de mostrarles el algoritmo clásico. Este les proporcionará rapidez y autonomía respecto a los materiales manipulativos.
Antes de iniciar esta fase es importante que veas que los niños dominan el sistema decimal y que han tenido una larga experiencia con los materiales manipulativos. Si el material sólo ha sido utilizado como introducción o anecdóticamente no permitirá que los niños pueden entender el algoritmo de la resta llevando. Mi recomendación es pues, que los niños trabajen la resta con llevadas apoyándose en materiales durante todo el tiempo que necesiten y sólo después (que puede ser en el siguiente curso) se enfrenten al procedimiento escrito.
3. ¿Y si ya están haciendo restas llevando por escrito y no entiende el algoritmo?
Este apartado va dirigido a padres que en el año anterior ya iniciaron la resta llevando.
Si ya se ha llegado a una situación donde el niño está haciendo de una forma mecánica las restas con llevadas y además de no saber para qué pueden servir esas famosas restas con “apellido”, no consigue memorizar los pasos para su resolución, tenemos que volver al punto uno. Es decir, necesitamos volver a separar el concepto del algoritmo y trabajar primero el concepto. En el caso de las familias, podemos hablar con la maestra (o el maestro) y explicarles que vamos a ayudar a nuestro hijo o hija en este tema y que primero vamos a reforzar el concepto de restar, el sistema decimal, la búsqueda de estrategias para que luego tenga la suficiente agilidad, comprensión y confianza como para aprender el método de resolución por escrito.
¡No hay fórmulas mágicas! Primero construimos el conocimiento y luego lo mecanizamos. De otra manera, habrá pocos niños que podrán ir avanzando con seguridad, siempre tendremos los que gracias a su gran memoria o habilidad para seguir unos pasos mecánicos, resuelven restas con el algoritmo clásico, pero otros irán retrasando (respecto a nuestras expectativas) el aprendizaje de temas como la resta llevando y sólo más adelante, cuando tengan más madurez, o con más repeticiones a sus espaldas lo alcanzarán.
En todos los casos, estaremos generando un hastío hacia las matemáticas y una merma de la autoestima de los niños. O sea que en definitiva no estaremos poniendo los cimientos para futuros aprendizajes tanto matemáticos como de otros ámbitos.
Los problemas en las matemáticas aparecen hacia los 11 o 12 años pero se gestan antes. No le falta razón a esta frase.
¿Ya te has encontrado con los problemas de las restas con llevadas? ¿Habías pensado en diferenciar el concepto del algoritmo? ¿Sabes qué tipos de algoritmos existen?
¡Te leo en los comentarios!
Antes de nada felicidades por su labor. Soy docente desde hace 23 años (muchos en el primer ciclo «el de la resta llevando») y no podía estar más de acuerdo con su artículo… hasta hace 4 años, cuando descubrí los algoritmos ABN. En ellos no existen las «llevadas» y los alumnos entienden lo que están haciendo, sin los artificios del método tradicional.
Se lo menciono es por si le interesa el tema, porque le puedo asegurar que yo era de los que creían que «no existen soluciones mágicas» como usted dice en el artículo, pero gracias a Dios, sí que existen otras formas más lógicas de calcular.
Gracias y enhorabuena por su estupendo blog.
La «resta llevando» como se dice en muchas escuelas, NO EXISTE. Es simplemente una resta, normal y corriente.
Yo creo que el mejor material, tal y como nos compartes, son las regletas.
Se «pierde» mucho tiempo enseñando una mecánica MUY complicada y dificil de entender.
Es mucho más importante la comprensión que la mecánica. Es un aspecto que hay que ir cambiando en nuestros centros escolares. Muchos de ellos ya lo están haciendo pero no todos.
Malena, me gusta mucho el trabajo que haces y los vídeos.
También la idea de enseñar juegos educativos ya que nos dan ideas. A mí, personalmente, me encantan y llenaría el aula con ellos para trabajar por rincones o en pequeño grupo.
Sigue así.
Me ha gustado lo de NO EXISTE. Yo añadiría: sólo en los libros de textos y en la memoria colectiva.
Estoy de acuerdo en que las regletas es un material excepcional, para mí el que más usos tiene y sobretodo en las operaciones aritméticas.
Gracias por tus palabras y por seguirme.
Gracias por esta entrada. Me viene de maravilla para guiarme en el proceso. Ahora mismo estoy reforzando en casa la introducción al sistema decimal con material manipulativo. Estoy preparando tapones de leche para hacer las sumas y restas.
Estaré atenta al siguiente boletín.
Un saludo,
Merche.
Hola buenas noches
Gracias por esta web primero.
En las restas llevando, estoy utilizando el ábaco, como material manipulativo, y…
Si la resta que hacen los niños es la de sumar 1 al de debajo, no encuentra ninguna lógica para entenderla, y el procedimiento es puramente mental y mecanico, por tanto no le aporta nada.
Pero si le restamos uno arriba si que tiene lógica básica matemática, pues le quitamos una decena para poder aumentarla a la resta de la unidades. Eso no seria importante sin un material manipulativo que lo acompañe y el ábaco tiene ese procedimiento básico de funcionamiento.
Probarlo con el ábaco os lo aconsejo. Los niños lo aprenden rápidamente, con esa lógica.
Cuando se utiliza el sistema decimal
Estoy de acuerdo,el ábaco también es un excelente recurso, aunque a mí para empezar me convence más las regletas o el material multibase.
El segundo método es verdad que es más difícil de entender, aunque sí que tiene lógica, lo que pasa es que yo creo que se necesita más madurez. Por eso no es recomendable comenzar por él.
Un saludo y gracias por comentar
Hola, desde este programita que realicé (y que fue premiado en la Comunidad Valenciana) creo que se aprende el concepto de resta y su algoritmo (el de quitar) de forma simultánea. Ambos se refuerzan…
Está en el menú de resta en el paso 5 aunque siempre conviene dar todos los pasos sucesivamente y poco a poco.
La aplicación en conjunto trabaja los problemas a través de la correcta «interpretación de las operaciones…pero trabajadas en situaciones concretas , es decir problemas…
Espero que le sirva a alguien.
Gracias Juan Manuel, en cuanto pueda le echo un vistazo.
hola
esta muy bueno el material y las explicaciones voy a utilizarlas en mi clase
gracias
Quiero saber cuento cuestalos cursos y enque modo se pagan
Desde argentina te escribo, y te cuento que también aquí estamos ansiosos por conocer tu método. Existe una página donde ver todo el material?
Muchas gracias!
Hola, soy Ingeniero Industrial y profesor de Matemáticas, materia que ha sido para mí una pasión desde pequeñito.
Estoy de acuerdo sobre todo en esta frase del artículo «Aprender a restar no es lo mismo que aprender a hacer restas por escrito», pero veo que luego en el resto del artículo y en los comentarios sobe todo, no se es coherente con esa premisa, pues se mezcla el concepto de restar, con el algoritmo de restar por escrito, y se recomiendan métodos que son buenos conceptualmente, pero no tanto a nivel de algoritmo (no veo a nadie haciendo restas habitualmente con regletas o tapones de leche…). Sería conveniente tener claro de verdad esta diferencia entre concepto y algoritmo, porque si además del concepto no enseñamos un buen algoritmo (en el caso de la resta el más operativo es el que se le suma 1 al sustraendo siguiente cuando en el paso anterior el minuendo es menor que el sustraendo), conseguiremos niños que quizás entiendan bien el concepto, pero que recurran a la calculadora para restas de sólo 2 ó 3 cifras.
Un algoritmo complicado de llevar a cabo (aunque sea fácil de entender), como el que va disminuyendo las decenas,centenas,millares… para incrementar el minuendo anterior cuando se necesite, provoca que haya que tachar muchos números, y al final el niño no sabe cuál era la resta original, provoca confusión con números pequeños por todas partes, por no hablar del caso en el que la cifra que «presta» es un cero y provoca una serie de «préstamos» en cadena…
Saludos,
Hola, estoy muy de acuerdo con Carlos. Es importante que los niños entiendan los razonamientos detrás de una operación matemática, pero no basta con quedarse en eso y por lo tanto también debemos dotarles de estrategias más prácticas y rápidas como en el caso de la resta es sumar 1 al sustraendo.
En mi caso hablo desde la experiencia propia, ya que a mí (tengo 24 años) me enseñaron a restar «pidiendo» a las decenas, a las centenas y sucesivos, y por mucho que lo entienda todo, siempre he tenido mucha dificultad para operar con la agilidad debida y hoy en día sigo acarreando ese problema que además se amplia cuando aprendemos a realizar operaciones algo más complejas, como por ejemplo las divisiones.
Hoy en día estudio magisterio y este es un tema sobre el que reflexiono mucho cuando en la universidad tratan de imponernos de forma férrea el método al que precisamente achaco la mayor parte de mis problemas con las matemáticas y cuando en los colegios en los que realizo mis prácticas observo la aplicación de los distintos procedimientos.
Creo que la clave debe de estar en un punto intermedio en el que se combinen ambas técnicas, pero esto también puede llevar a una gran confusión por parte de los alumnos que pueden acabar mezclando todo y no entendiendo nada.
Por mi parte seguiré investigando y buscando esa «solución mágica» para todo el largo camino que me queda por recorrer, y me alegra encontrar este tipo de debates en el que se tengan en cuenta distintos puntos de vista de forma constructiva y en el que espero haber podido aportar mi pequeño granito.
Un saludo.
Nuria, estás en un camino que muchos maestros han iniciado hace bastante tiempo. Es una pena que tu facultad no te esté mostrando lo que ya es una evidencia: los algoritmos que aún se siguen usando en las aulas, están obsoletos para las necesidades de los niños tanto presentes como futuras. Aunque yo recomiendo materiales para ayudar a comprender dichos algoritmos, mi apuesta actual está en la línea de la aritmética mental o los algoritmos ABN (que es semejante solo que con una estructura). No es una solución mágica sino la verdadera forma de introducir a los niños en el cálculo.
Gracias por tu comentario Nuria, es un placer leer a estudiantes reflexivos que buscan otras formas de enseñar.
PD: Ya hay varias facultades haciendo una didáctica del cálculo en esta línea. A ver si llega a todas las universidades pronto.
Hola Carlos,
¡Gracias por leer el artículo y comentar sobre él!
En el artículo, básicamente, me he centrado en el algoritmo de la resta, porque es lo más concreto. Hablar de qué tipo de situaciones cotidianas, problemas, juegos, conducen a la comprensión de la resta sería tema para otro artículo.
Yo no digo que las regletas o los tapones o cualquier otro material o recurso tenga que ser la manera de restar. Lo que si que creo que muchos (no necesariamente todos) niños y niñas necesitan algo más concreto que represente lo que están haciendo (restar) que la escritura de números en una determinada posición.
Sobre lo complicado de un algoritmo o no, hay mucho por hablar. Podemos decir que un algoritmo es sencillo cuando queremos decir que es rápido, sintético, eficiente… Los niños y los adultos (si estuvieran aprendiendo a restar) no necesitan rapidez, necesitan entender…
Hola Malena, ¡Gracias a ti por esta Web tan interesante que acabo de descubrir!
Creo que en el fondo no hay mucha diferencia entre lo que tú indicas, y el enfoque con el que lo veo yo. Quizás un matiz, para el cual me permito poner un ejemplo con una operación más compleja y avanzada, como es el cálculo de derivadas (diferenciación de funciones, o derivadas por simplificar)
Cuando mi profesor de 2º de BUP (algunos dirán qúe eso de BUP 😉 ), le tocó explicarnos por primera vez todo lo relacionado con la derivación de funciones, puso un especial hincapié en explicarnos con detalle y a lo largo de todo el curso, el Concepto de Derivada, clave para que entendiéramos que «narices» era eso de hacer derivadas. Le estoy enormemente agradecido, pues ese primer contacto con el Cálculo Diferencial, es clave para lograr un entendimiento de todo lo que viene después. Pero independientemente, salimos del curso con un gran manejo de las Técnicas de Derivación de funciones; técnicas que olvidan en gran medida la definición matemática de derivada, y se limitan a dar una serie de herramientas rápidas para lograr calcular la derivada de una función.
Para afianzar el concepto, hicimos varios ejemplos de cálculo de derivadas aplicando su definición como límite de una razón entre dos valores que tienden a cero., y su interpretación geométrica. Se calculaba dicho límite y se hallaba la función derivada. (es algo muy ilustrativo, pero nada rápido hablando en términos de tiempo empleado).
No olvidemos el sentido práctico que tiene para la mayoría de los alumnos el aprendizaje de las matemáticas, pues pocos de ellos se dedicarán en el futuro a la teoría matemática. Yo mismo en mis estudios universitarios, realicé seguramente cientos o más bien miles de derivadas en los exámenes de la mayoría de las asignaturas que tenían casi siempre una base matemática. Fue vital tener un buen manejo de dichas técnicas, como complemento al concepto, que seguro me ayudó también a comprender muchos planteamientos antes de reslver los problemas.
Resumiendo, creo que debe haber una dualidad CONCEPTO-TÉCNICA, en el que las dos partes sean importantes, cada una con un objetivo distinto, pero que no caigamos en el error común, de menospreciar una, por haber estado durante mucho tiempo, minusvalorada la otra.
Saludos, y perdón por el «ladrillo»
Carlos, de ladrillo nada, me ha gustado mucho tu reflexión. ¡Qué bueno que es el debate!
Estoy de acuerdo en que es necesario tener un cierto dominio de las conceptos, propiedades y operaciones. En ese aspecto, creo que hay que distinguir la primera etapa (infantil y primaria) donde la práctica se puede obtener a partir de la interacción con la realidad ya sea en la escuela o en casa. Nosotros hacemos matemáticas cada día y por ende nuestros niños y niñas las van a hacer. Otra vía, no menos importante, es el juego, que abarca desde el juego simbólico (donde nos imitan) hasta el juego de mesa (casi siempre con contenidos y habilidades matemáticas). Más adelante, en una segunda etapa (secundaria y bachillerato) el chico o la chica desarrolla la capacidad de cualificarse en una materia y es capaz de practicar para habilitarse.
Evidentemente esto no será igual para todas las personas, ya que hay niños y niñas que pueden adelantar antes el paso de una etapa a otra.
Son muchos profesionales de distintos campos los que comentan este cambio de intención a la hora de estudiar. Tanto en el aprendizaje de un instrumento musical como de por ejemplo el ajedrez (dos casos cercanos a mi familia), no hasta los 13-14 años que los niños desarrollan un verdadero interés por estudiar para mejorar.
Un saludo y gracias por participar
Yo lo he empezado a trabajar con mis alumnos de segundo hoy, y he utilizado piezas de lego de las grandes. Y por supuesto quitando a la decena del minuendo para dárselo a las unidades. Creo que así lo entienden mejor, aunque quizá sea cierto que el algoritmo más sencillo sea el de añadir una decena al sustraendo.
Maleta, de acuerdo contigo en todo menos en lo de que después de manipular hay que enseñarle el algoritmo tradicional. Cualquier otro menos ese.
Menos restas con llevadas y más restas pensando.
Se debe manipular hasta que se adquiera buena destreza para componer y descomponer los números. Así no hace falta «llevarse» nada a ningún lugar. Si se enseña así y se invita a razonar por medio de otros algoritmos, como el redondeo a la decena o centena por medio de suma que luego quitas, o muchos otros que surjan por la propia deducción de los alumnos, sería realmente más valido.
Habría que volver a releer a Constance Kamii, o a Madelaine Goutard … Saludos
Muy buenos días,
Primero daros las gracias por el artículo y posterior debate.
Mi consulta es la siguiente, soy una mama de una niña de 7 años y justo están empezando ha realizar restas llevando y me doy cuenta que entiende el concepto de restar pero al trasladar la operación escrita NO sabe hacerla porque NO la entiende.
Os digo que siempre he sido mala en matemáticas y quizás por esto, simplemente las odio y no quiero que le pase ésto a mi hija.
¿Como puedo ayudarla para que le sea fácil?, pero por favor, agradecería me pusierais algún ejemplo muy «claro» para explicárselo, de la manera que lo indicáis es como hablar en chino para mí.
Atentamente,
Susagna.
Hola Susagna.
Precisamente el próximo 24 de noviembre voy a hacer un taller online gratuito para hablar sobre este tema. Es para suscriptores (es gratuito ser suscriptor) por lo que te recomiendo que te suscribas para poder asistir. Creo que te quedará más claro.
Oh!!!!!! Muchisimas gracias… me inscribo ahora mismo.?
Hola!
Mi hija tiene 7 años. Ayer llegó con deberes de matemáticas a casa. Eran restas con llevada. Hace semanas que las hacen en clase y me confesó que no lo entiende, que no sabe hacerlo, que va perdida en clase desde hace muchos días y que su compañero de pupitre intenta ayudarla, pero claro, no puede.
Voy a intentar poner en práctica tus consejos porque realmente ayer estaba muy triste y decía que si la maestra se entera se va a enfadar.
Es tristísimo escuchar que tiene miedo a que la maestra se enfade, desde esa emoción es difícil aprender. ¡Espero que le puedas ayudar! Aún es muy pequeña para estar sufriendo con las matemáticas (y no digo que haya una edad pero desde luego a los 7 años hay que jugar y disfrutar SIEMPRE).