En este artículo hablé de la importancia de separar el algoritmo de las restas con llevadas del concepto. Hoy te quiero hablar de algoritmos y poner algunos ejemplo de cómo trabajar con materiales manipulativos.
¿Qué algoritmo usar para restar?
Recordemos que según Wikipedia,
Un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución.
Si un algoritmo es un conjunto preescrito, podría ser que hubiera más de una posibilidad, ¿verdad?
Y así es, a la hora de decidir cómo abordar la resta con llevadas podemos optar por tres caminos (si alguien conoce alguno más, le agradecería un comentario):
1. Algoritmo de “bases”
2. Algoritmo austriaco
3. Algoritmo ABN o sin algoritmo explícito
Como ya comenté, el punto de partida tienen que ser situaciones reales donde aparezcan restas con llevadas y siempre acompañados de material (fase concreta).
En cuanto al material, no necesitas nada sofisticado.
El mismo material manipulativo que has usado para trabajar el sistema decimal es el que será útil para realizar las restas con llevadas y éste puede ser material comprado o construido por nosotros.
Cómo resolver un problema usando material
Durante todo el año he estado ahorrando dinero por lo que tengo 43 €. Con ese dinero, quiero comprarme un juguete que cuesta 27 €. ¿Cuánto dinero me quedará después de comprar el juguete?
Yo utilizaré el material «multibase«. Las unidades están representadas por cubitos de 1 cm de arista, las decenas son barras equivalentes a 10 cubitos, las centenas son placas equivalentes a 10 barras y los millares son cubos equivalentes a 10 placas.
Si queremos restar 43 – 27, primero representaremos el número 43, para ello tomaremos 4 decenas (barras) y 3 unidades (cubitos).
Ahora para quitar 27, sabemos que tendremos que quitar 2 decenas y 7 unidades. No hay problema con quitar 2 decenas, pero vemos que para restar 7 unidades algo tendremos que hacer ya que sólo tenemos 3 unidades.
Conociendo la equivalencia entre decenas y unidades, vemos que podemos cambiar una decena por 10 unidades
Ahora ya podemos quitar 7 unidades.
Y por último quitamos dos decenas y obtenemos el resultado, 16.
Observación: quizá es más natural, primero quitar dos decenas al 43 y quedaría 23 y luego quitar 7 y para ello cambiaríamos una decena por 10 unidades.
Yo he empezado quitando primero unidades por seguir el algoritmo tradicional ya que sé que muchos lectores tienen interés en apoyar los algoritmos que los niños aprenden en el colegio con este tipo de material manipulativo.
Este tipo de trabajo con el material, no deber ser meramente introductorio o realizado de manera puntual sino que tiene que ser parte de una dinámica habitual. Para pasar más tarde a un trabajo gráfico o simbólico nos tenemos que asegurar de que los niños realizan las operaciones correctamente con el material.
Varios algoritmos para las restas con llevadas
Ahora verás la resta de nuestro ejemplo, 43-27 con diferentes algoritmos.
Fíjate que antes de iniciar el trabajo escrito sería recomendable atravesar una etapa donde los niños representen gráficamente (cada uno a su manera) el trabajo realizado con el material. También aquí puede ser útil usar cartones de números como paso previo a la escritura del algoritmo.
1. Algoritmo de “bases”
Este algoritmo refleja con bastante fidelidad el trabajo que has hecho con el material. Aunque es suficientemente conocido, os lo muestro en este vídeo.
Si los niños anteriormente han trabajado suficientemente el sistema decimal con este material (o regletas o palillos) y lo han usado para sumas, sumas con llevadas y restas sin llevadas, las restas con llevadas como la del ejemplo, no suponen una gran dificultad.
2. Algoritmo austriaco
Este método se puede considerar como el estándar y resulta útil si se quiere más adelante incluir en el algoritmo estándar de la división. La desventaja con respecto al anterior, es que la propiedad sobre la que se apoya el método: la invarianza de la resta si se le suma o resta la misma cantidad a los dos términos de la sustracción es difícil de entender para niños de 7 u 8 años que es cuando se suele introducir el algoritmo de la resta llevando y por tanto, los niños lo aprenden de una forma mecánica, sin entender nada.
Podéis ver este vídeo para saber de que algoritmo hablo.
Si quieres usar los algoritmos clásicos, una solución sería empezar utilizando el algoritmo de “bases”. Entonces, en un curso posterior, cuando los niños tengan la suficiente madurez, trabajar dicha propiedad para poder explicar el algoritmo austriaco.
3. Algoritmo ABN o sin algoritmo escrito
Por último, son muchas las iniciativas de docentes, investigadores y centros educativos que optan por una forma de calcular donde cada niño reinvente las reglas de juego o tenga un marco suficientemente amplio para poder decidir qué y cómo hacer.
Es decir, se fomenta la búsqueda de estrategias por parte del alumno, la implicación en la resolución de problemas y en definitiva el espíritu matemático sin desgastar a los niños en la práctica aburrida y repetitiva de algoritmos clásicos.
Algunos ejemplos son: la aritmética mental propuesta por los investigadores del «Freudenthal Institute” en Holanda o los algoritmos ABN.
Son formas de resolver problemas o situaciones reales mucho más ricas desde un punto de vista matemático que los algoritmos, ya que en ellas se usa y se aplica conceptos y propiedades, además de fomentar la participación del niño.
Los algoritmos Abiertos Basados en Números (ABN), son una serie de cálculos sencillos que elimina las dificultades de las cuentas clásicas. Su autor Jaime Martínez Montero dispone de un blog donde se puede ver en numerosos vídeos, la aplicación práctica de estos nuevos algoritmos. Son vídeos con niños y niñas de distintos colegios donde los docentes han decidido optar por esta manera comprensiva de hacer cálculos. Unos cálculos que además eliminan la eterna disgregación entre cálculo escrito y cálculo mental.
Si quieres, puedes leer los artículos que he ido publicando sobre los algoritmos ABN:
https://aprendiendomatematicas.com//calculo/algoritmos-abn/
https://aprendiendomatematicas.com//uncategorized/calculo-tradicional-calculo-mental-calculo-abn/
A continuación hay un vídeo. En él verás como una niña de 7 años (y no es un caso aislado), realiza complicados cálculos con comprensión:
Observación
Por último una cita de Eugene A. Maier:
Sin embargo, algunos educadores sostienen que los estudiantes necesitan conocer esos procedimientos. Y tienen razón: los estudiantes necesitan conocerlos, pero no debido a su importancia matemática, sino porque ayudan a los estudiantes a tener éxito en la escuela. Dicho sencillamente, estos procedimientos son destrezas para la supervivencia escolar de los alumnos (…) en mi opinión, carece de sentido, tanto educativa como económicamente, usar nuestros recursos educativos para enseñar destrezas que solo sirven para perpetuarse a sí mismas. Cuando tal cosa ocurre, es la hora de cambiar.
Fuentes:
http://lauruiz.files.wordpress.com/
MARTÍNEZ, J. Enseñar matemáticas a alumnos con necesidades educativas especiales. Wolters Kluwer, 2010.
MAIER, E. A. (1987). “Basic Mathematical Skills or School Survival Skills?”. Editorial de la revista Teaching Children Mathematics (sep).
¿Conocías estos algoritmos? ¿Cómo trabajáis las restas con llevadas? ¿Cuál de los algoritmos usáis?
¡Te leo en los comentarios!
El material de base 10 es maravilloso, lo utilizo durante toda la Primaria, igual haces una resta llevada como el cuadrado de un numero, no se que harían sin ellos.
Os adjunto un maravilloso blog con unos videos muy inspiradores: http://materialsdematematiques.blogspot.com.es/
Seguimos compartiendo,
muchas gracias por todo,
feliz jueves!!!
Opino lo mismo, tendría que formar parte de la lista de imprescindibles de cualquier aula (o incluso casa, que tenemos poca tradición a tener materiales manipulativos en casa). Y yo alargo su vida hasta la secundaria.
Gracias por el blog, ¡es precioso!
Hola,
¿Puedes poner un ejemplo del algoritmo de bases, en el que el minuendo tenga uno o varios ceros seguidos, lo cual complica bastante, y cómo lo explicas para que el niño lo entienda? Es el principal problema que veo a este algoritmo, estos casos en los que la cifra que tiene que pasar 1 a la de la derecha, es un cero. Acaba con mucho tachones y se llega a hacer casi ilegible. Además, he visto muchos casos en los que los niños tienden a pasar «directamente» el 1 de la cifra que está a la izquierda del cero, a la de la derecha del cero, y les cuesta entender que no se puede hacer, si pasar primero por convertir el 0 en un 10 y luego en un 9.
Gracias.
Hola, Quería hacerte una pregunta Malena. Mi hija va a una escuela donde le enseñan a sumar, restar, …al modo «tradicional!., y es todo tan aburrido y tan sin sentido que me he emocionado al leer con muchísimo interés la información sobre los algoritmos ABN.
Me gustaría mostrarselos para que tuviera una mejor comprensión de lo que hace. Mi duda es si esto podría confundirla o crearla algún problema con lo que hacen en su clase, o no supondría nada negativo. Muchas gracias. Mercedes
Hola Mercedes,
Como bien intuyes, no es muy adecuado al principio hacer los dos métodos porque puede crear confusión. Si ves que ya sabe hacer bien el método tradicional puedes mostrarle los algoritmos ABN a modo de ejercicios complementarios. Creo que puede ser interesante ya que se favorece mucho la estrategia de cálculo y por tanto el cálculo mental.
me ha encantado el algoritmo ABN.. justo esta mañana una de las tareas que tenía mi hija (2º primaria) era de restas y sumas con llevadas. Las sumas las hace sin problemas pero en las restas se lía muchísimo…
Hola Malena, en el algoritmo austríaco, ¿qué recomiendas, decir «4 menos 3» o «de 3 a 4»?
Hola,
En principio es indistinto. A mí personalmente me gusta más la segunda opción.
Me ha sorprendido mucho el algoritmo ABN. Entiendo que para llegar ahí hay que manipular mucho o tener un talento especial. La niña del video tenía un muy buen cálculo mental. Muy ágil. He alucinado
No funciona el enlace a los videos, los puedes volver a poner? muchas gràcias
Gracias por avisar. Voy a tratar de arreglarlo.