Una aproximación a los cuerpos geométricos

No acostumbro a hacer monográficos sobre conceptos matemáticos pero en esta ocasión a través del foro de participantes a los talleres matemáticos una persona me comentó si podía hacer una clasificación de los cuerpos geométricos y como se me fue alargando, decidí hacer una entrada.

Antes de que comiences la lectura, me gustaría hacer un pequeño comentario. Mucha de la información que aquí leerás la he obtenido navegando por la red y con algún libro que tenía por casa. En muchas ocasiones, las definiciones y clasificaciones que encontraba eran contradictorias unas con otras o incompletas. Más que nunca, he podido comprobar que no podemos aceptar como verdad todo lo que leemos tanto en internet como en un libro (yaaaa, sé que es obvio, pero tenía que decirlo).

Yo misma (alguien quizá lo leyó) publiqué este artículo hace unos cuantos días y gracias al comentario de un lector de este blog, me di cuenta de errores en los que había incurrido y he intentado subsanarlos con una nueva versión de aquel artículo (otra vez gracias también a su ayuda).

En fin, queda aquí también este aprendizaje: buscar, comparar, poner en tela de juicio, generalizar,… a todo esto tenemos que aprender y tenemos que acompañar a nuestros hijos y alumnos. Nuestro reto no sólo es que se formen en matemáticas, vivimos en un mundo sobre-informado donde necesitamos más que nunca tener herramientas para ser críticos y para poder tener nuestro propio criterio.

Y ahora el artículo…

Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio.

Todos tenemos la idea intuitiva de lo que es “ocupar un volumen en el espacio” pero sucede muchas veces que quizá esa intuición nos falla si nos hacen preguntas como: “¿una caja de zapatos con la tapa abierta ocupa un volumen?” “¿una casita de cartón que tiene la puerta abierta es un cuerpo geométrico?”

Para que podamos decir que la caja de zapatos o la casa de cartón u otro ejemplo en el que pensemos es un cuerpo, su superficie tiene que estar limitada, tiene que ser cerrada. Así, los cuerpos pueden tener una única superficie que vemos entera como el caso de una pelota o una superficie dividida en varias partes como una caja con tapa.

Otra observación que podemos hacer, es que el cuerpo es todo: la superficie externa que vemos y el volumen que ocupa.

Clasificando…

Siempre podemos encontrar muchos criterios para clasificar un conjunto de elementos geométricos, uno de los más utilizados para clasificar los cuerpos es el criterio del tipo de superficie.

Por tanto, atendiendo al tipo de superficie que tienen los cuerpos, podemos distinguir dos familias:

-          Poliedros

-          Cuerpos redondos 

Los poliedros están delimitados por superficies planas y los cuerpos redondos tienen al menos una de sus superficies no plana.

Así, los poliedros están formados por polígonos (llamados ahora caras) y cada dos caras vecinas se cortan en un segmento llamado arista. Y los puntos donde confluyen tres o más aristas se llaman vértices.

Si nos centramos en los poliedros y ponemos nuestra mirada en los ángulos que forman las caras consecutivas de un poliedro, vemos que hay algunas caras que forman ángulos menores de 180º, son los llamados poliedros convexos y poliedros que al menos tienen dos caras consecutivas que forman un ángulo que supera los 180º son los poliedros cóncavos. De una manera intuitiva, un poliedro es cóncavo cuando algunas caras y vértices entran “hacia adentro” como es el caso de la primera ilustración y convexo cuando no se da esa situación.

 

Otra clasificación habitual es separar los poliedros en dos familias: regulares y no regulares.

Por poliedros regulares entendemos aquellos que cumplen las siguientes propiedades:

-          todas las caras son idénticas y todas son polígonos regulares.

-          en cada vértice se reúnen el mismo número de aristas (o de caras)

Hay un subfamilia de poliedros regulares, los poliedros regulares convexos, que ya desde la antigüedad se estudió y se llegó a la conclusión de que sólo podíamos encontrar cinco:

  • tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales,
  • hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,
  • octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales,
  • dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales,
  • icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

Son los llamados sólidos de Platón o sólidos platónicos llamados así en honor a Platón (siglo IV a.C.) que los cita en el Timeo aunque se piensa que ya eran conocidos desde antes.

No entre aquí quien no sepa geometría” Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la Academia de Platón (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutir problemas de filosofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una idea de la importancia que desde antiguo se ha concedido al conocimiento de la Geometría.

Y seguimos… otra de las familias que habitualmente se estudian son los prismas. Los prismas son aquéllos poliedros que tienen dos caras llamadas bases, paralelas entre sí y el resto de caras son paralelogramos.

Aquí podemos distinguir entre prismas rectos y prismas oblicuos, dependiendo de si la recta que une los centros de las bases es perpendicular a ellas a no (dicha recta se llama eje del prisma).

También, como veis en esta fotografía, podemos distinguir entre prismas regulares y prismas no regulares, según si la base es un polígono regular1 o no.

Podéis ver una animación aquí: http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/cap_01a-imagenes/poliedros.swf

Hay muchísimos otros cuerpos que no son prismas pero de entre ellos rescataré a las pirámides, también viejas conocidas. Por definición una pirámide es un cuerpo geométrico cuya base es un polígono y las caras laterales están formadas por triángulos que coinciden en un punto común llamado vértice. Análogamente a los prismas, las pirámides también pueden ser rectas y oblicuas.

¿Os acordáis de los dos primeros grupos que habíamos hecho: poliedros y cuerpos redondos?

Bien, pues dentro de los cuerpos redondos hay que destacar por su importancia tres y son tan conocidos que no necesitan presentación: cilindros, conos y esfera

Espero no haberos liado mucho, como veis hay una gran diversidad de nombres y recordad que como siempre toda clasificación es una clasificación y lo más importante es que con los niños trabajéis la observación, la experimentación y el diálogo con ellos. Todo ello eso sí, con  materiales que se pueden ver, tocar y manipular y no con dibujos en la pizarra o fotografías de un libro.

 

1.       Polígono regular: figura plana cerrada formada por segmentos rectos consecutivos no alineados y cuyos lados tienen la misma medida y cuyos ángulos interiores tienen la misma medida.

Ilustraciones, fuentes y referencias webs:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm

http://webdelprofesor.ula.ve

http://www.recursostic.educacion.es

http://www.region11.edu.ar/publico/portal/doc/adultos/modnac/mate3.pdf

7 Responses to “Una aproximación a los cuerpos geométricos”

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  1. Andrea says:

    Excelente explicación! Mucho mejor que en muchos libros de texto… Me alegro de verte (leerte) de vuelta :)

    Un saludo

  2. virginia says:

    Muchísimas gracias Malena…entre mis lagunas escolares y la falta de formación en este asunto, me había hecho un lío. Gracias por esta explicación tan clara. Lo voy a digerir y cualquier duda te la comento.
    un abrazo

  3. GlobalLearner says:

    Un aporte: respecto de los llamados “Sólidos Redondos”, también son llamados “Sólidos de Revolución” porque se obtienen a partir de la rotación de algunas figuras planas; más detalles en la dirección: (Copiar y pegar en la barra de direcciones de tu navegador y darle “enter”) También pueden revisar una definición de metro cúbico que lespuede aclarar las cosas a los estudiantes ya que se relaciona con la definición de volumen; dirección: La fuente es el blog ubicado en la dirección:
    http://ryc-innovaenmateperu.blogspot.com/

    • Malena says:

      Gracias por tu aporte. En este artículo no quise tocar mucho el tema del volumen porque ya era suficientemente largo, en realidad fue una petición de una alumna.
      Te agradezco los comentarios

  4. Un auténtico placer encontrar una descripción tal sencilla como esta y a la vez tan completa. Estoy seguro que la utilizaré en mi enseñanza en las clases y a mis propios hijos. Gracias por compartirlo.

Trackbacks

  1. [...] el nombre de sólidos platónicos, si quieres leer más acerca de estos poliedros puedes ir a la entrada que publiqué hace un [...]



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